Chương III

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
Hệ tọa độ trong không gian
Phương trình mặt phẳng
Phương trình đường thẳng

Ax  By  Cz  D 0

 x  x0  at

 y  y0  bt
 z  z  ct
0


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ

1. Hệ tọa độ

Kí hiệu: Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz)
+ O: gốc tọa độ
+ Ox, Oy, Oz: trục hành, trục tung, trục cao.

2 2 2
i  j k 1

+ (Oxy); (Oxz); (Oyz) các mặt phẳng tọa độ .
+ Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz

   
i. j  j.k i.k 0

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ
2. Tọa độ của điểm





M ( x; y; z )  OM xi  y j  zk

3. Tọa độ của vectơ


   
u ( x; y; z )  u xi  y j  zk

Nhận xét:
M ( x ; y ; z )  OM ( x ; y ; z )




i 1;
0; 0 ; j 0;1;0 ; k 0;0;1
1;0;0

Ví dụ: Xác định tọa độ vectơ và điểm sau


  
a ) a  2i  6k  j


b) OA  2 j


 a ( 2;  1;6)

 A (0;  2;0)

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ

 
a ) u u ( x x; y  y; z z)

b) k .u ( kx; ky; kz ), k  



u ( x; y; z ), u ( x; y; z), k  

 x  x





c) u u   y  y
 z z 


 





d ) u cùng phuong u  0  u k .u   x kx, y ky , z kz 

e) A  x A ; y A ; z A , B  xB ; y B ; z B   AB ( x B  x A ; y B  y A ; z B  z A )
f) I là trung điểm AB thì

 x A  xB y A  y B z A  z B 
I
;
;

2
2 
 2

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Ví dụ. Trong không gian , cho các vectơ
.
a) Tìm tọa độ của các vectơ: và .
b) Tìm tọa độ của các vectơ: .
c) Tìm tọa độ các vectơ: ;
d) Phân tích vectơ theo 3 vectơ ;; .

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Ví dụ. Trong không gian , cho các vectơ
.
a) Tìm tọa độ của các vectơ: và .
b) Tìm tọa độ của các vectơ: .
c) Tìm tọa độ các vectơ: ;
d) Phân tích vectơ theo 3 vectơ ;; .

Giải
) .

a
) .

b

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Ví dụ. Trong không gian , cho các vectơ
.
a) Tìm tọa độ của các vectơ: và .
b) Tìm tọa độ của các vectơ: .
c) Tìm tọa độ các vectơ: ;
d) Phân tích vectơ theo 3 vectơ ;; .

Giải
c) ;

.

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Ví dụ 1. Trong không gian , cho các vectơ
.
a) Tìm tọa độ của các vectơ: và .
b) Tìm tọa độ của các vectơ: .
c) Tìm tọa độ các vectơ: ;
d) Phân tích vectơ theo 3 vectơ ;; .

Giải
)

d

.

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI
 VEC TƠ


Trong hệ tọa độ Oxyz, cho a ( x; y; z ), b ( x; y; z )
  

a ) a.b  a . b .cos a, b x.x ' y. y ' z.z '

 


2
2
2
b) a  x  y  z


c) AB  AB  ( xB  x A ) 2  ( y B  y A ) 2  ( z B  z A ) 2



a.b
x.x  y. y  z.z
d ) cos(a, b)    
a.b
x 2  y 2  z 2 . x2  y2  z2
 

*) a  b  a.b 0  x.x  y. y  z.z 0

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN



Ví dụ 2. Cho a (  3;2;  1), b (1;  2;1), c (4;0;  1)
   

  
v 3a  5b  2c
1. Tính: u  2a  3b  5c;
    

2. Tính: b.( a  c ), a  c , cos a, c

 

Giải

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN



Ví dụ 2. Cho a (  3;2;  1), b (1;  2;1), c (4;0;  1)
   

  
v 3a  5b  2c  6;16;  10 
1. Tính: u  2a  3b  5c;
    

2. Tính: b.( a  c ), a  c , cos a, c

 

Giải





 2a 6;  4;2 ; 3b 3;  6;3 ;  5c  20;0;5 ;  u  11;  10;10 

 
  
a  c 1;2;  2   b.( a  c) 1.1  2.2  1.  2   5
 
2
2
2
a  c  1  2   2   9 3


a 

 3 

2

 2   1
2

2


2
2
2
 14; c  4  0   1  17


a.c  3.4  2.0  1.  1  11



a.c
 11
 cos a, c    
14. 17
a .c

 

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
(S)

I

.

.M

r

S(I; r) = {M | IM = r}

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

z

(S)

c

Trong không gian Oxyz, mặt
cầu tâm I(a; b; c), bán kính r
có phương trình như thế nào?

r

.

O
a
x

.M

. I (a; b; c)
b

y

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

z

Trong không gian Oxyz, cho cầu (S) tâm I(a ;b ; c),
bán kính r

c
r

M ( x; y; z )  ( S )  IM r

( x  a) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2 r



 ( x  a) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2 r 2

.

O
a
x

Do đó :
2
x

a

y

b

z

c

r

 
 

2

2

(S)

2

là phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b ; c), bán kính r

.M

. I (a; b; c)
b

y

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Câu 1. Trong không gian , mặt cầu có phương trình
có tọa độ tâm là
A. .
B. .
C. .

D. .

Câu 2. Trong không gian , mặt cầu có phương trình
có đường kính bằng
A. .
B. .
C. .

D. .

Câu 3. Trong không gian , cho . Phương trình mặt cầu đường kính là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 4. Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình .
Mặt cầu có tâm , bán kính là
A. .
B. .
C. .
D. .

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
*) Nhận xét:

( x  a) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2 r 2 (1)
 x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  a 2  b 2  c 2  r 2 0
 x 2  y 2  z 2  2 Ax  2 By  2Cz  D 0

(2)

A
(2) acó luôn là pt mặt cầu không
Ngược lại: Với A, B, C, D tùy
ý,
 B  b
2
2
2
2
2
2
(2)  x 2 2Ax A2  y 2  2 By

B

z

2
Cz

C

D

A

B

C
0
    C  c    
 2
2
2
 ( x  A)  ( y  B )  ( z  C ) 2 A2 2 B 2 2 C 2 2 D
 D a  b  c  r
VT 0
VP < 0
 (2) Vô nghĩa

VP = 0
 M(x; y; z) là 1 điểm
có toạ độ (-A;-B;-C)

VP > 0
Þ (2) là phương trình mặt cầu

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
2

2

2

*) Nhận xét: ( x  a )  ( y  b)  ( z  c ) r

2

(1)

 x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  a 2  b 2  c 2  r 2 0
 x 2  y 2  z 2  2 Ax  2 By  2Cz  D 0 (2)

Ngược lại: Với A,B,C,D tùy ý, (2) có luôn là phương trình mặt cầu không

(2)  x 2 2Ax A2  y 2  2 By  B 2  z 2 
 2CzC 2  D  A2  B 2  C 2 0
     
 ( x  A) 2  ( y  B ) 2  ( z  C )2  A2  B 2  C 2  D

Vậy:

2

2

2

x  y  z  2 Ax  2 By  2Cz  D 0

2
2
2
A

B

C
 D  0 là phương trình mặt cầu tâm
với điều kiện
2
2
2
r

A

B

C
 D
(-A;- B;-C), bán kính

(2)

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Trong kh«ng gian Oxyz,
mÆt cÇu (S) t©m I(a;b;c) b¸n
kÝnh r cã phư­¬ng tr×nh lµ:
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 (1)
+Nhận xét: Phư­¬ng tr×nh :
x +y +z +2Ax+2By+2Cz+D=0(2)
2

2

2

víi A +B +C -D>0 lµ ph­ư¬ng
tr×nh mÆt cÇu t©m
I(-A;-B;-C)
2
2
2
r

A
2 B 22  C 22  D
b¸n kÝnh r  A  B  C  D
2

2

2

Ví dụ 2. Trong các phương trình sau, phương trình
nào là phương trình mặt cầu ? Nếu là phương trình
mặt cầu, hãy xác định tâm và bán kính ?

a) x 2  y 2  z 2  2x  4y  6z  2 0
b) 3x 2  3y 2  3z 2  12x  6y  12z  30 0
c) x 2  2y 2  2z 2  4x  6y  2z  2 0
Hướng dẫn:
a) Là phương trình mặt cầu tâm I(1; -2 ; 3); r = 4
b) Không là phương trình mặt cầu
c) Không là phương trình mặt cầu

BÀI TẬP CỦNG CỐ
Khoanh tròn vào đáp án đúng:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b ;c), bán kính r là :

A)( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2 r 2

C )( x  a )2  ( y  b)2  ( z  c)2 r 2

B)( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2 r

D)( x  a )2  ( y  b)2  ( z  c)2 r 2

Bài 2: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) tâm I(1;-5;2), bán kính 4 là :
2
2
2
AA)( x  1)  ( y  5)  ( z  2) 16
B)( x  1) 2  ( y  5) 2  ( z  2) 2 8

C )( x  1) 2  ( y  5) 2  ( z  2) 2 8
D)( x  1) 2  ( x  5) 2  ( x  2) 2 16

Bài 3 : Phương trình x2 + y2 +z2 +2Ax +2By +2Cz+D = 0 (S) là phương trình mặt cầu nếu :
A. A + B +C– D > 0
C C. A2 +B2 + C2 – D > 0
B. A2 + B2 +C2 – D < 0
D. A2 + B2 + C2 – D = 0

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ

*Tính chất của tích có hướng:
 





1)  u , v   u ;



 





u
,
v

  v

Tức là

     
 u , v  . u  u , v  . v 0

 
   
2)  u , v   u . v .sin( u , v )





  
3)  u , v  0  u và v cùng phương


 



 



4) u ; v ; w đồng phẳng  u , v . w 0



§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ

*Ứng dụng của tích có hướng:
*) Tính diện tích hình bình hành: S ABCD

   
  AB, AD  .A'



H

*) Tính thể tích khối hộp:
VABCD. A ' B 'C ' D '

    
  AB, AD  . AA ' .



*) Tính thể tích tứ diện ABCD:
V ABCD 





1
AB, AC . AD
6

C'
B

α
A

C
D

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
CÁC VÍ DỤ




Ví dụ 1. Cho a (  3;2;  1), b (1;  2;1), c (4;0;  1)


 a, b 


a
,
c
1. Tính:




 
2. Tính: a.  b, c 


Ví dụ 2. Cho 3 điểm A(2;  1;3), B (4;0;1), C (  10;5;3)
1. Tính diện tích tam giác ABC.
2. Tìm độ dài đường cao xuất phát từ A của tam giác ABC.
3. Tính thể tích tứ diện OABC.